本书既可以作为经典概率论图书的补充, 也可以作为学习概率论的主 要教材, 共分为五个部分. 第一部分介绍概率论, 由六章组成. 第1章 主要通过一些有趣的问题来引入许多重要思想, 概率论中的很多核心 理念将会反复出现. 第2章会给出概率论中的基本定律, 相应的例子会 在第3章中给出. 这样的安排能使学生迅速接触到概率论中的实际问 题, 并且不会在理论知识增长的同时感到压力倍增. 在研究完这些例 子之后, 第4章仍然是理论知识, 其后两章仍与例子有关(当然, 这两 章还将引入解决这些问题的若干理论).

第二部分是大多数课程的核心, 引入了随机变量. 首先, 它回顾了一 些有用的技巧, 然后通过“标准化”技巧来研究随机变量.

第三部分研究的是一些特殊分布. 概率分布有很多类型, 但这一部分 有所选择, 并且很好地将连续分布和离散分布结合了起来. 在读完这 几章之后, 你就有能力应对你所见到的任何新分布了.

第四部分研究的是收敛定理. 由于这部分内容旨在作为补充材料或入 门课程, 因此不做特别详细的讨论, 但我们会证明马尔可夫不等式、 切比雪夫定理、弱大数定律和强大数定律、斯特林公式以及中心极限 定理(CLT). 最后这个定理特别重要, 因此我们会在这部分和相关附录 中进行详细论述, 而这里所使用的技巧本身就具有一定的研究价值. 想了解关于这些价值的更多内容, 可以查阅网络资源(其中有一章关于 复分析和CLT的高阶内容).

为了让学生和教师更灵活地掌握教材内容, 最后的第五部分将会安排 各类相关知识. 由于很多课程会把概率论与统计学结合在一起, 因此 我们首先要看的是假设检验这一章. 接下来, 我们会考察差分方程, 这部分内容延续了第1章的主题思想. 我真的非常喜欢最小二乘法, 虽 然它是统计学的内容, 但也是对线性代数和多元微积分的完美应用. 另外, 如果让误差服从独立的高斯分布, 那么我们就能得到一个卡方 分布, 这使得最小二乘法在概率论中也有了完美的拟合. 我们还会谈 到一些著名问题, 并给出关于编程的入门指南(对编程更全面的介绍, 请参阅网络补充资料). 在21世纪, 你必须具有基本的编程能力. 首 先, 这是检验你的答案正确与否以及帮助你查缺补漏的好方法. 其次, 倘若你会编程, 那么你对答案就有了初步感受, 这或许就能帮助你猜 测出正确的答案. 最后, 尽管在很多时候并不存在简单的闭型解, 但 我们可以在没有其他选择的情况下利用模拟来估算概率. 这就很好地 呼应了本段开头所说的假设检验：如果我们推测出了一个答案, 那么 能否通过模拟加以证实？分析模拟和数据是现代科学的核心, 我也强 烈建议你继续学习一门统计学课程(多门更好).

本书最后给出了大量附录 , 这些内容都是经过精心安排的. 很多人 在学习概率论的过程中苦苦挣扎, 而问题往往出现在他们以前学过的 知识和技巧上, 尤其是定理的证明方面. 这也是为什么第一个有关证 明技巧的附录会如此冗长而详细. 第二个附录快速回顾了那些会被用 到的分析结果, 接下来的附录则与可数集与不可数集有关. 数学中最 大的困难往往出现在与无穷大有关的问题上, 安排这部分内容就是为 了简单地介绍出现在概率论中的无穷大. 最后的附录简要地谈了谈复 分析是如何在概率论中起作用的, 尤其是在如何严格地证明中心极限 2 定理方面. 虽然该附录涉及高等知识, 但值得花时间学习, 因为掌握 这部分内容既可以让你更好地学习后续的数学课程, 还有望帮助你领 悟这门学科的美妙与复杂之处.